Czy da się zdać maturę z matematyki strzelając?

Dziś na lekcji matematyki w technikum (podczas podejmowania tematu zdarzeń wieloetapowych) pojawił się następujący problem: 

Do matury podstawowej z matematyki podchodzi osoba (lub np. mało rozgarnięta małpa), która postanawia strzelać na wszystkie 25 pytań zamkniętych. Jakie ma szanse na zdanie tego egzaminu, jeśli próg zaliczeniowy to 15 punktów. 
Zakładamy oczywiście, że zadania otwarte pozostaną nietknięte.


Do rozwiązania tego problemu idealnie nadaje się Schemat Bernoulliego, który pozwala obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania k sukcesów w zdarzeniu złożonym z n prób, jeśli tylko nasze zdarzenie jest typu sukces/porażka (np. wyrzucenie orła/reszki). Musimy określić teraz s - jako prawdopodobieństwo sukcesu oraz p - jako prawdopodobieństwo porażki, by uzyskać następujący wzór na obliczenia prawdopodobieństwa k sukcesów:
Wróćmy teraz do naszego problemu. Jeśli strzelamy odpowiedź do pytania z czterema opcjami wyboru, to prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 0.25, a prawdopodobieństwo porażki 0.75

Korzystając z powyższego z wzoru widocznego powyżej, możemy łatwo wskazać prawdopodobieństwo dla dowolnej liczby sukcesów. Rezultatem obliczania prawdopodobieństwa dla dowolnej liczby sukcesów jest poniższy wykres:

Widać na nim, że największe prawdopodobieństwo występuje dla 6 sukcesów, a więc strzelając, z największym prawdopodobieństwem uzyskamy tylko 6 punktów, czyli 12% (warto tu poczytać o wartości oczekiwanej, która w tym przypadku jest równa 6.25). 

Powyższy wykres nie może być jest jednak odpowiedzią na pytanie postawione w tytule posta. Zaliczenie matury nastąpi bowiem, jeśli uzyskamy 15, 16, 17... i tak aż do 25 punktów. Prawdopodobieństwo zdania matury, będzie sumą dla wymienionych wcześniej prawdopodobieństw (niejawnie korzystamy tu z pojęcia dystrybuanty). 

Zerknijmy teraz na poniższy wykres, który przedstawia prawdopodobieństwo dla uzyskania maksymalnie s sukcesów (wykres wspomnianej dystrybuanty):

Możemy z niego odczytać na przykład, że 
  • prawdopodobieństwo uzyskania pięciu lub mniej sukcesów wynosi około 40%,
  • na 50% uzyskamy 6 odpowiedzi,
  • strzelając, uzyskamy na ponad 90% 10 lub mniej odpowiedzi poprawnych. 
Widać też, że prawdopodobieństwo niezdania matury (czyli uzyskania 15 lub mniej punktów) jest bliskie 100%.

Gdyby skorzystać z dokładnych obliczeń, uzyskalibyśmy dokładny wynik pokazujący szanse zdania matury, równy 0,02%. W praktyce to oznacza, że na 10 000 delikwentów, którzy podeszliby w taki sposób do matury, około dwójka z nich uzyskałaby wynik zadowalający.

Można dokładnie wyliczyć to korzystając z poniższego wzoru:

Jeśli kogoś interesują dokładne obliczenia (ale szybsze niż ze wzoru), to polecam kalkulator internetowy dla rozkładu dwumianowego, który można znaleźć tutaj. Daje on całkiem przyjemne rezultaty, które publikuję poniżej.

Aktualizacja (19.05.2017):
Zapomniałem dodać, że wiele kalkulatorów naukowych pozwala obliczyć prawdopodobieństwo, czy to pojedynczej liczby sukcesów czy pewnego przedziału. Jeśli ktoś taki posiada, warto zerknąć sobie do instrukcji i zobaczyć, czy jego urządzenie ma taką funkcję. Zdecydowanie jest to lepsze i szybsze rozwiązanie niż serwis internetowy, czy arkusz kalkulacyjny.
Zdjęcie mojego kalkulatora, z opcją obliczania dystrybuanty dla wybranej liczby sukcesów.

Komentarze

Popularne posty z tego bloga