Wśród rzeczy, których nie ma w podstawie programowej nauczania matematyki w Liceum jest bardzo dużo tematów, które warto zrobić, żeby przygotować się lepiej na studia. Sam dobrze pamiętam hasło jednego z doktorów, który powtarzał, że „Mieliście to Państwo przecież w Szkole Podstawowej”. Problem polegał na tym, że wiele z tych rzeczy dawno nie robiło się nie tylko w SP, ale nawet w Liceum. Jednym z takich tematów jest właśnie Biegunowy układ współrzędnych. W tym poście opiszę lekcję, którą przeprowadziłem w II klasie LO, żeby wprowadzić u moich uczniów to zagadnienie. Zachęcam do jej przeprowadzenia, ponieważ to miła odskocznia od „trzepania” zadań ze zbioru. Dodam tylko, lekcję o biegunowym układzie współrzędnych w liceum polecam robić po wprowadzonych wykresach funkcji trygonometrycznych.
Zanim zacznie się lekcja…
No tak, mając kartkę i ołówek można wprowadzić ten temat, ale o wiele łatwiej opowiadać o biegunowym układzie współrzędnych, gdy będziemy mieli do dyspozycji:
- tablicę interaktywną po której można rysować i na której włączymy prezentację,
- kalkulatory naukowe dla u każdego ucznia w klasie,
- telefony komórkowe u uczniów,
- wydrukowane biegunowe układy współrzędnych, które można pobrać tutaj.
Prezentacja poprowadzi za rękę
Poniżej publikuję prezentację, którą użyłem na moich zajęciach.
Dlaczego jeden układ nie wystarczy?
W II klasie liceum ogólnokształcącego już całkiem dobrze znamy kartezjański układ współrzędnych, który zwany też jest prostokątnym układem współrzędnych. Po co nam w takim razie biegunowy, skoro jest już jeden. To tak jak z butami – zimę i lato da się obejść w tenisówkach, ale posiadanie osobnej pary na zimę i osobnej na lato będzie wygodniejsze. Z dwoma układami współrzędnych jest podobnie, gdyż pojawią się w przyszłości takie problemy, w których układ kartezjański będzie niewygodny. Wtedy układ biegunowy wjedzie na białym koniu i sprawi, że wszystko będzie proste.
Ubieramy polar i idziemy na biegun
Biegunowy układ współrzędnych (z języka angielskiego Polar coordinate system) to cały system określania położenia obiektów na płaszczyźnie, który możemy zdefiniować w następujący sposób:
To dwuwymiarowy system współrzędnych, w którym każdy punkt jest określony za pomocą odległości od środka (promień) oraz kąta odchylenia od referencyjnej półprostej (azymut).
en.wikipedia.org
Wyjaśniając, biegunowy układ współrzędnych to dokładnie to samo co układ prostokątny, ale zamiast odległości w pionie i poziomie od punktu (0,0), używamy zwykłej odległości od środka układu współrzędnych oraz kąta odchylenia od ustalonej półprostej.
Biegunowy układ współrzędnych i punkty
Każdy punkt na płaszczyźnie biegunowej będzie określony przez dwie współrzędne:
- promień wodzący: określany literą r,
- kąt skierowany – określany grecką literą teta.
Narysujmy kilka wykresów
Skoro już wiemy, jak działa biegunowy układ współrzędnych – to narysujmy w nim kilka funkcji. Najlepiej wykonać do na tablicy interaktywnej w klasie, jeśli taką mamy. Szkice można wykonywać na arkuszach, które umieściłem do pobrania w pierwszym akapicie lub na tablicy interaktywnej. Zadania ze slajdu 4. i 5. są bardzo proste. Należy jednak pamiętać, że naszą podstawową jednostką zapisu kątów są tu radiany. Nie stopnie.
Teraz czas uzbroić się w kalkulator naukowy, ponieważ będziemy rysowali bardziej skomplikowane wykresy. Potrzebne będą też biegunowe układy współrzędnych, o których pisałem na początku tego artykułu. Najwygodniej stworzyć sobie tabelkę wartości funkcji, którą uzupełni się wartościami. Ja osobiście polecam jednostkę dla kąta równą 10 stopni. Wykres wyjdzie wtedy bardzo „kształtny.
Jeśli szczęśliwie mamy kalkulatory takie lub podobne jak ten z lewej strony, to bardzo możliwe, że taką tabelkę funkcji da się wygenerować automatycznie. Zachęcam do poszukania takiej opcji. Casio fx-991 CEX ma to w Menu, pod nazwą Tabela.
Cięższe działa – wykresy biegunowe w Desmosie
Rysowanie ręczne jest już anachroniczne. Fajnie taki wykres narysować, żeby odhaczyć to w swoim życiorysie, ale żyjemy w czasach gdzie komputery pokazują nam jak ma wyglądać funkcja. Robią to szybciej i lepiej. Slajd siódmy mojej prezentacji pokazuje w telegraficznym skrócie to, jak wstawić prosty wykres biegunowy w Desmosie. Potem następują już tylko wyzwania rysowania wykresów, które warto wykonać. W ten sposób polepszy się swoją intuicję matematyczną, ale też pozna nowe kształty.
To tylko początek
Wszystko powyższe to tylko wstęp do całego ogromu treści związanych z biegunowym układem współrzędnych i tym, co można za jego pomocą robić. Zachęcam do zgłębiania tematu i szukania na mojej stronie innych treści związanych z tym tematem.
